netowl

元祖のスタードメイン付属のサーバーは、メールは転送機能のみ。
旧スタードメインの無料サーバーはメール機能は一切無し(この変更のとき、メールが使えなくなったという大量のブーイングがあったと思う。)
現在のスタードメイン無料サーバーは、メール機能が復活している(転送だけでなく、実際にメールが受け取れる)ので、メールを使いたいなら、最新のスタードメイン無料サーバーに乗り換えるしかないですね。
ただし、サーバーの乗り換えは『一旦、すべてのデータが初期化される』ので、完全なバックアップをとってから移行後に自分でデータを戻す必要があるので、手間も時間もかかります。
スタードメインの別の有料サーバーで使っているものとドメイン名が重なっていると、そちらとの調整も必要になるかもしれません。無料SSL証明書も使っていると一旦解除する必要があるかもしれません。

... 何をするにも、完全バックアップをとってから作業することは必須です。

詳細なご説明をありがとうございました。
大変参考になりました。