netowl

> アドレスも変わりますよね。

そもそも starfree でなくなるので、変わります。
しかも、同じサーバーアカウントは取れないはずなので、
sitagoya.stars.ne.jp では取れません。

sitagoya.starfree.jp は残しておけるので、新 URL に誘導するのは可能です。
ただし、「スターサーバーフリー」の契約更新を忘れないように注意。


・ウェブサイトのデータ
原則としては、FTPで、ダウンロードして、移転先にアップロードです。ただし、ページ内にいわゆる絶対リンクがあれば、書き換える必要があります。

しかしむしろ、「ホームページビルダー」をいまも使用しているのであれば、
「ホームページビルダー」内で、必要に応じて設定を変更して、新サイトにアップロードするほうがよいかもしれません。


・旧サイトへのアクセスを新サイトに転送
「サイト転送設定」が使えます。
https://www.star.ne.jp/free/manual/tool_server_1.php


・検索エンジンに登録
おそらく現サイトもGoogleなどには登録されていないかと思われますから、この点では移行作業はないでしょう。
もしも検索エンジンで見つかるようにしたいのであれば、
新サイトを Google Search Console や Bing Webmaster Tools に登録するとよいでしょう。

> 変わってしまう場合、アドレスの移行をサポートする対策はあるでしょうか？

特にサポートはないけれど、http://sitagoya.starfree.jp/ の作り方なら、何も考えずにコピーするだけで、何も問題ないはず。

なにが知りたいのか今ひとつはっきりしませんが、たとえサーバーIDをフリーから有料に移行できても（実際にはできません）サーバーの中身はついてきません。

フリーから有料サーバーに移る場合にはサーバー内のデーターは自分で移動させる必要があります。

1つのネットオウルIDで利用できる「スターサーバーフリー」は現在1つのようですが、有料サーバーの利用数に制限はありません。
現在利用している「スターサーバーフリー」のアドレスを保持したまま、新規に有料サーバーを借り旧アドレスから新規のアドレスへ誘導すればいいのではないでしょうか。

移転する度にURLが変わってしまっては困るというのであれば、独自ドメインを取得して「スタードメイン無料サーバー」を利用すればドメインの維持費用だけで済みます。
また何か事情があってサーバーを移動しても、URLが変わることもありません。

ジオシティーズからの移転のようですが、あちらの閉鎖に伴う移転サービスを利用しているわけでもなさそうなので、同じようなものがあると期待しているというのとも違うような感じですね。