netowl

＞引っ越し先のＵＲＬに検索があがるようにするためにはどのようにすればよいでしょうか。
＞現行のＵＲＬでは特に検索エンジンの上位にくるような契約はしていませんが、サイト名で検索できました。

それは検索サイトのクローラ（検索ロボット）が巡回してきて検索サイトのインデックスに登録するから検索しても出るようになるのです。
新しいURLは巡回ロボットがまだ廻ってきていないから、インデックスに登録されてないだけでしょう。
ホームページを作ったからと言ってすぐに検索サイトに載るとは限りません。数週間〜数ヶ月地道に待つことです。
早く検索サイトに載せるにはWebマスターツールを使って、巡回ロボットに巡回させることです。

＞また、古いＵＲＬで検索した人に引越し先を教えるサイトは設定で作れますか？

古いサイト側のhtmlの中にmetaタグを書くか、又は、htaccessファイルで新しいサイトへリダイレクトするように設定すればいいと思いますよ。
方法は、https://allabout.co.jp/gm/gc/23770/を参考にどうぞ。

追記です：
どうして検索サイトに載るのか？その仕組を解りやすく説明してあるページが有りました。
目を通してみるといいでしょう。
「Google検索の仕組みの基本！」
https://junichi-manga.com/mechanism-of-google-search/

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