netowl

＞ドメインは『sample@ab-cde.net』の様な感じでハイフンが入っております。

ドメインにハイフンが入っているからといって問題ないなるようなところはないはずです。

https://www.nic.ad.jp/ja/dom/system.html

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・example@gmail.com 　から　sample@ab-cde.netへ送信
・example@gyahoo.co.jp 　から　sample@ab-cde.netへ送信

＞gmail(フリーメール）からだとメールがエラーで返ってきてしまいます。

送信メールアドレスの打ち間違いとかじゃないんでしょうか？
それか、メールサーバーの設定をした直後で１日もたってないとか・・。

gmailから、sample@ab-cde.netのアドレスを送信元にして送信とかそういう話じゃないですよね？

たんに、普通のgmailのアドレスからgmailのWEBから送信して、届くかどうかの話でしょうか？

■

http://www.minibird.jp/man/tool_webmail.php

ミニバードのWEBメールがあるので、そこからgmailに送信して、gmailで受信して、それを返信してみるとかを試してみては？


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ドメインのメール設定をして１日とかだと、うまく届かないで、戻ってくる可能性はあるかと思います。

届くときもあり、届かない時もありとか
届く経路もあり、そうでない経路もありみたいな状態。

https://secure.netowl.jp/bbs/detail.cgi?td=397

上記は新旧がありますが
今回の場合は、

旧：設定していない状態
新：メールサーバーを設定した状態

gmailからみると、旧のようにまだ見えているという可能性です。

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ミニバードの初期ドメイン（最初に割り当てられるもの）も、メールが使えたと思うので、それを使ってみれば

-　ありなしドメインのテストはできると思います。

> gmail(フリーメール）からだとメールがエラーで返ってきてしまいます。

エラーで返ってきているなら、その返ってきたメールに送信できなｋった理由が書いてあるのでは？

> ドメインは『sample@ab-cde.net』の様な感じで

メールのトラブルで、正確なドメイン名を隠したら、他人にアドバイスできることは何も無いと思った方がいい。